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日志

 
 

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图  

2010-12-09 13:35:31|  分类: 家庭教育 |  标签: |举报 |字号 订阅

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. 教学内容:

弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积

 

   教学目的

  1. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征,使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。

  2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。

  3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。

  4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想,培养学生空间想象能力和计算能力。

    教学重点和难点:

    教学重点是弧长和扇形面积公式,圆锥及其特征,圆锥的侧面积计算

难点是圆锥侧面展开图(扇形)中各元素与圆锥各元素之间的关系

教学过程

1. 圆周长:扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    圆面积:扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

2. 圆的面积C与半径R之间存在关系扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客,即360°的圆心角所对的弧长,因此,1°的圆心角所对的弧长就是扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    n°的圆心角所对的弧长是扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客                   P120

    *这里的180n在弧长计算公式中表示倍分关系,没有单位。

  3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    发现:扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形面积也就越大。

  4. 在半径是R的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客,所以圆心角为n°的扇形面积是:

    扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客n也是1°的倍数,无单位)

 

 

 

5. 圆锥的概念

    观察模型可以发现:圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆,侧面是一个曲面,如果把这个侧面展开在一个平面上,展开图是一个扇形。

    如图,从点S向底面引垂线,垂足是底面的圆心O,垂线段SO的长叫做圆锥的高,点S叫做圆锥的顶点。

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说,把直角三角形SOA绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO叫做圆锥的轴,圆锥的轴通过底面圆的圆心,并且垂直于底面。另外,连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SASA1SA2、……都叫做圆锥的母线,显然,圆锥的母线长都相等。

    母线定义:连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P122

  6. 圆锥的性质

    由图可得

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    1)圆锥的高所在的直线是圆锥的轴,它垂直于底面,经过底面的圆心;

    2)圆锥的母线长都相等

  7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算

    圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。

    圆锥侧面积是扇形面积。

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

   

如果设扇形的半径为l,弧长为c,圆心角为n(如图),则它们之间有如下关系:

    扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    同时,如果设圆锥底面半径为r,周长为c,侧面母线长为l,那么它的侧面积是:

    扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    圆锥的全面积为:扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

圆柱侧面积:扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

 

    例:在⊙中,120°的圆心角所对的弧长为扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客,那么⊙O的半径为___________cm

    答案:120

    解:由弧长公式:扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客得:

    扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    例:若扇形的圆心角为120°,弧长为扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客,则扇形半径为_____________,扇形面积为____________________

    答案:1525π

    例:如果一个扇形的面积和一个圆面积相等,且扇形的半径为圆半径的2倍,这个扇形的中心角为____________

    答案:90°

    例:已知扇形的周长为28cm,面积为49cm2,则它的半径为____________cm

    答案:7

例:两个同心圆被两条半径截得的扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客,又AC=12,求阴影部分面积。

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    解:OC=r,则OA=r+12,∠O=n°

    扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

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    扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    OC=18OA=OC+AC=30

    扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

         扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

         扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

         扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

 

    例:如图,已知正方形的边长为a,求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    解:∵正方形边长为a

    扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

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    ∴叶的总面积为扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    *也可看作四个半圆面积减去正方形面积

    扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    例:已知ABCD为⊙O的两条弦,如果AB=8CD=6扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客的度数与扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客的度数的和为180°,那么圆中的阴影部分的总面积为?

    解:将弓形CD旋转至B,使DB重合

    如图,C点处于E

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    扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客的度数为180°

    AE是⊙O的直径

    ∴∠ABE=90°

    又∵AB=8BE=CD=6

    由勾股定理扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    ∴半径扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

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    例:在△AOB中,∠O=90°,OA=OB=4cm,以O为圆心,OA为半径画扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客,以AB为直径作半圆,求阴影部分的面积。

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    解:OA=4cm,∠O=90°

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    扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    则阴影部分的面积为:

    扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    例:①、②……扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客是边长均大于2的三角形,四边形、……、凸n边形,分别以它们的各顶点为圆心,以1为半径画弧与两邻边相交,得到3条弧,4条弧,……

    1)图①中3条弧的弧长的和为_________________

    图②中4条弧的弧长的和为_________________

    2)求图扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客n条弧的弧长的和(用n表示)

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    解:1)π,2π

    2解法1

    n边形内角和为:(n2180°

    n条弧的弧长的和为:扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客个以某定点为圆心,以1为半径的圆周长

    n条弧的弧长的和为:扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    解法2设各个扇形的圆心角依次为扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

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    n条弧长的和为:

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    例:如图,在RtABC中,已知∠BCA=90°,∠BAC=30°,AC=6m,把△ABC以点B为中心逆时针旋转,使点C旋转到AB边的延长线上的点C'处,那么AC边扫过的图形(阴影部分)的面积为?

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    分析:RtACB中,∠C=90°,∠BAC=30°,AB=6

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    法一:扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

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    法二:以B为圆心,BC为半径画弧

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    A'BDABD'

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    例:如图,已知RtABC的斜边AB=13cm,一条直角边AC=5cm,以直线AC为轴旋转一周得一个圆锥。求这个圆锥的表面积。如果以直线AB为轴旋转一周,能得到一个什么样的图形?

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    解:扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    以直线AC为轴旋转一周所得的圆锥如图所示,它的表面积为:

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    扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    以直线AB为轴旋转一周,所得到的图形如图所示。

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               扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

 

例:一个圆锥的模型,这个模型的侧面是用一个半径为9cm,圆心角为240°的扇形铁皮制作,再用一块圆形铁皮做底,则这块图形铁皮的半径为______________

    答案:6

 

    例:若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形,则这个圆锥的侧面积是_______

    答案:2π

 

    例:已知圆锥的底面半径为40cm,母线长为90cm,则它的侧面展开图的圆心角为______

    答案:160°

 

    例:若圆锥的侧面积是底面积的2倍,则侧面展开图的圆心角是__________

    答案:180°

 

    例:如图,圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm,母线长50cm

    1)画出它的展开图;

    2)计算这个展开图的圆心角及面积。

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    解:1)烟囱帽的展开图是扇形,这个扇形的半径是圆锥的母线长,弧长是圆锥底面周长(如图)

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    2)设扇形的半径为l,弧长为c,圆心角为α,则l=50cm扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客=288(度)

    扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

 

    例:一个圆锥的高是10cm,侧面展开图是半圆,求圆锥的侧面积。

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    解:设圆锥底面半径为r,圆锥母线长为l,扇形弧长(即半圆)为c,则由题意得

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    扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    RtSOA中,扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    由此求得扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    故所求圆锥的侧面积为扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

 

    例:蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成,如果想用毛毡搭建20个底面积为扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客,高为3.5m,外围高4m的蒙古包,至少要多少平方米的毛毡?

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    解:扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    h1=4,∴扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

       扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    答:至少要扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客平方米的毛毡。

 

【模拟试题】

[基础演练]

  1. 已知扇形的弧长为6πcm,圆心角为60°,则扇形的面积为____________

  2. 已知弓形的弧所对的圆心角为60°,弓形弦长为a,则这个弓形的面积是__________

  3. 如图,在平行四边形ABCD中,扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客BDAD,以BD为直径的⊙OABE,交CDF,则图中阴影部分的面积为___________

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

  4. 如图,AB是⊙O1的直径,AO1是⊙O2的直径,弦MN//AB,且MN与⊙O2相切于C点,若⊙O1的半径为2,则O1B扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客CN扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客所围成的阴影部分的面积是_____________

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

  5. 如图,△ABC为某一住宅区的平面示意图,其周长为800m,为了美化环境,计划在住宅区周围5m内,(虚线以内,△ABC之外)作绿化带,则此绿化带的面积为___________

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

  6. 如图,两个同心圆被两条半径截得的扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客,⊙O'扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客都相切,则图中阴影部分的面积为____________

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[综合测试]

  7. 如图,OA是⊙O的半径,AB是以OA为直径的⊙O’的弦,O’B的延长线交⊙O于点C,且OA=4,∠OAB=45°,则由扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客和线段BC所围成的图形面积是______

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

  8. 如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条ABAC的夹角为120°,AB长为30cm,贴纸部分BD长为20cm,贴纸部分的面积为(   

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    A. 扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客                            B. 扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    C. 扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客                      D. 扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

  9. 如图,在同心圆中,两圆半径分别为24,∠AOB=120°,则阴影部分的面积为(   

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    A. 扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客                  B. 扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客                  C. 扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客                 D. 扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

  10. 一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平翻滚(如图),那么,B点从开始至结束所走过的路径长度为(   

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    A. 扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客                 B. 扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客                 C. 4               D. 扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

  11. 2004·湖北黄冈)如图,要在直径为50cm的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面,问怎样才能截出直径最大的凳面,最大直径是多少厘米?

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[探究升级]

  12. 2004·新疆)在相距40km的两个城镇AB之间,有一个近似圆形的湖泊,其半径为10km,圆心恰好位于AB连线的中点处,现要绕过湖泊从A城到B城,假设除湖泊外,所有的地方均可行走,有如图所示两种行走路线,请你通过推理计算,说明哪条路线较短。

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客

    1)的路线:线段扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客线段DB

    2)的路线:线段扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 - 地狱之火博客 - 地狱之火博客线段FB(其中EF为切点)

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